Empilement de cercles dans un triangle équilatéral

L'empilement de cercles dans un triangle équilatéral est un problème d'empilement bidimensionnel dont l'objectif est d'empiler des cercles unités identiques de nombre n dans le triangle équilatéral le plus petit possible.

Des solutions optimales sont connues pour n < 13 et pour tout nombre triangulaire de cercle, et des conjectures sont disponibles pour n < 28.

Une conjecture de Paul Erdős et Norman Oler indique que si n est un nombre triangulaire alors les empilement optimaux de n − 1 et de n cercles ont la même longueur de côté : c'est, selon la conjecture, un empilement optimal pour n − 1 cercles peut être trouvé en supprimant un seul cercle de l'empilement hexagonal optimal de n cercles. On sait maintenant que cette conjecture est vraie pour n ≤ 15.

Voici les solutions minimales pour la longueur du côté du triangle :

Nombre de cercles n	Longueur du côté du triangle	Figure
1	$2{\sqrt {3}}\approx 3,464...$
2	$2+2{\sqrt {3}}\approx 5,464...$
3	$2+2{\sqrt {3}}\approx 5,464...$
4	$4{\sqrt {3}}\approx 6,928...$
5	$4+2{\sqrt {3}}\approx 7,464...$
6	$4+2{\sqrt {3}}\approx 7,464...$
7	$2+4{\sqrt {3}}\approx 8,928...$
8	$2+2{\sqrt {3}}+{\dfrac {2}{3}}{\sqrt {33}}\approx 9,293...$
9	$6+2{\sqrt {3}}\approx 9,464...$
10	$6+2{\sqrt {3}}\approx 9,464...$
11	$4+2{\sqrt {3}}+{\dfrac {4}{3}}{\sqrt {6}}\approx 10,730...$
12	$4+4{\sqrt {3}}\approx 10,928...$
13	$4+{\dfrac {10}{3}}{\sqrt {3}}+{\dfrac {2}{3}}{\sqrt {6}}\approx 11,406...$
14	$8+2{\sqrt {3}}\approx 11,464...$
15	$8+2{\sqrt {3}}\approx 11,464...$

Un problème étroitement lié est de couvrir le triangle équilatéral avec un nombre fixe de cercles égaux, ayant un rayon aussi petit que possible.

Voir aussi

• Problème de Malfatti, une construction donnant la solution optimale pour trois cercles dans un triangle équilatéral.